Black-Scholes es una fórmula de 1973 que calcula la prima teórica de una opción a partir de cinco datos: precio del subyacente, strike, años hasta el vencimiento, tipo de interés y volatilidad. No adivina el precio del mercado: te dice qué prima se deduce de esos cinco datos. La publicaron Fischer Black y Myron Scholes en el Journal of Political Economy (vol. 81, 1973) y sigue siendo la referencia contra la que se mide cualquier prima.
Los cinco datos
| Entrada | Ejemplo | Efecto en la prima |
|---|---|---|
| Precio del subyacente (S) | 100 | Sube la call y baja la put |
| Strike (K) | 100 | Baja la call y sube la put |
| Años hasta el vencimiento (T) | 1 | Sube las dos: más tiempo, más posibilidades de movimiento |
| Tipo de interés (r) | 5% | Sube la call y baja la put un poco |
| Volatilidad anual (sigma) | 20% | Sube las dos: es la que más pesa |
Qué sale con la calculadora
Con subyacente 100, strike 100, un año de plazo, 5% de interés y 20% de volatilidad, la calculadora de Black-Scholes devuelve una call de 10,45 € y una put de 5,57 €, más la delta (0,637 y -0,363), la gamma, el vega en euros por punto de volatilidad y la pérdida diaria de cada opción.
| Caso | Call | Put | Delta call |
|---|---|---|---|
| Base: S=100, K=100, 1 año, vol 20% | 10,45 | 5,57 | 0,637 |
| Volatilidad al 40% | 18,02 | 13,15 | 0,627 |
| Un mes de plazo | 2,51 | 2,10 | 0,540 |
| Subyacente a 110 | 17,66 | 2,79 | 0,796 |
| Subyacente a 90 | 5,09 | 10,21 | 0,430 |
Todos los números salen de la misma fórmula con el resto de datos fijos. Pasar la volatilidad de 20% a 40% sube la call de 10,45 € a 18,02 €, y recortar el plazo a un mes la deja en 2,51 €. La volatilidad y el tiempo pesan más que el precio.
La comprobación que sí sirve
La paridad put-call dice que la prima de la call menos la de la put debe ser igual al subyacente menos el strike descontado. En el caso base: 10,45 menos 5,57 da 4,88, y 100 menos 95,12 da 4,88, con el strike de 100 descontado un año al 5%. Si la igualdad no se cumple, hay una operación sin riesgo esperando, y el mercado la corrige enseguida.
Qué asume y dónde se rompe
La fórmula supone volatilidad constante durante toda la vida de la opción, movimientos continuos sin saltos, una opción europea que solo se ejerce al vencimiento, ausencia de dividendos y cero comisiones. Los mercados reales incumplen esas condiciones cada día, y la comisión siempre está.
Por eso el uso real de Black-Scholes suele ir al revés: en vez de meter la volatilidad para obtener la prima, se mete la prima de mercado y se obtiene la volatilidad. Lo que sale se llama volatilidad implícita, y es la única de las cinco entradas que no puedes mirar en una pantalla: se deduce de lo que el mercado está pagando por la opción.
Las griegas, en castellano
Las griegas no forman parte de la fórmula, salen de ella: son la derivada de la prima respecto a cada dato. Dicen qué le pasa a tu posición cuando se mueve algo, y por eso son la parte que de verdad se usa al operar.
- Delta: cuánto se mueve la prima por euro que se mueve el subyacente. Una delta de 0,637 en la call base significa que si el subyacente sube 1 €, la prima sube unos 64 céntimos.
- Gamma: cuánto cambia la delta cuando se mueve el subyacente. Es la aceleración, y pesa más cuanto más cerca está el vencimiento.
- Vega: cuánto se mueve la prima por cada punto de volatilidad. En la calculadora se devuelve en euros por punto, no en porcentaje, que es donde suelen estar las confusiones.
- Theta: lo que pierde la prima por el paso de un día, con todo lo demás igual. Es el coste de esperar, y se acelera al final: a un mes del vencimiento la call de la tabla pierde más al día que a un año.
Con los datos base, la theta de la call es de 0,018 € al día y la de la put de 0,005 €. Dicho de otra manera: mantener la opción abierta tiene precio aunque el subyacente no se mueva.
Para qué sirve hoy
Para tres cosas: comparar una prima de mercado con la que saldría del modelo, dimensionar el riesgo con las griegas y ajustar una posición cuando se mueve la volatilidad. La herramienta calcula las dos primas y las cuatro griegas con los datos que tú metas.
Una comprobación práctica: mete la prima que cotiza tu bróker y compárala con la del modelo. Si la de mercado está bastante por encima, alguien está pagando por esperar movimientos que el modelo no contempla con la volatilidad que tú has introducido. Esa diferencia es información, y suele estar en la volatilidad implícita.
El vocabulario está en volatilidad implícita y prima. Para el efecto del tiempo, qué es el theta; para el del precio, qué es el delta.
Esto es divulgación: sirve para entender qué calcula Black-Scholes y qué no calcula, no es asesoramiento financiero ni una recomendación de inversión. Decide por tu cuenta y, si tienes dudas, consulta con un profesional autorizado.